Question

13．設(shè)無(wú)窮等比數(shù)列{a_n}的公比為q，若a₁=$\lim_{n→∞}（{a_3}+{a_4}+…+{a_n}）$，則q=$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$．

Answer 1

分析 由于q為無(wú)窮等比數(shù)列{a_n}的公比，即有0＜|q|＜1，由無(wú)窮等比數(shù)列的極限公式可得$\underset{lim}{n→∞}$（a₃+a₄+…+a_n）=$\frac{{a}_{3}}{1-q}$，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得公比q．

解答 解：由于q為無(wú)窮等比數(shù)列{a_n}的公比，即有0＜|q|＜1，
由${a_1}=\lim_{n→∞}（{a_3}+{a_4}+…+{a_n}）$，可得
a₁=$\frac{{a}_{3}}{1-q}$=$\frac{{a}_{1}{q}^{2}}{1-q}$，
即為q²+q-1=0，
解得q=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$舍去），
故答案為：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的極限的求法，注意運(yùn)用無(wú)窮等比數(shù)列的極限公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．