Question

5．給出下列命題：①y=1是冪函數(shù)；②函數(shù)f（x）=2^x-log₂x的零點(diǎn)有且只有1；③$\sqrt{x-1}（x-2）≥0$的解集為[2，+∞）；④“x＜1”是“x＜2”的充分非必要條件；其中真命題的序號(hào)是④．

Answer 1

分析 ①根據(jù)冪函數(shù)的定義知，y=1是常數(shù)函數(shù)，不是冪函數(shù)；②函數(shù)f（x）=2^x-log₂x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)y=2^x與y=log₂x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出它們的圖象即可；③解不等式即可求得結(jié)論；④易知“x＜1”是“x＜2”的充分不必要條件．

解答 解；①y=1是常數(shù)函數(shù)，不是冪函數(shù)．故錯(cuò)；
②根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)得：函數(shù)f（x）=2^x-log₂x沒(méi)有零點(diǎn)，故錯(cuò)；
③$\sqrt{x-1}$（x-2）≥0?$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{x-2≥0}\end{array}\right.$，或x=0，解得x≥2或x=1，故$\sqrt{x-1}$（x-2）≥0的解集為[2，+∞）∪{0}，錯(cuò)；
④“x＜1”⇒“x＜2”，但是“x＜2”推不出“x＜1”，因此“x＜1”是“x＜2”的充分不必要條件，正確；
故答案為④．

點(diǎn)評(píng) 此題是個(gè)基礎(chǔ)題．考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)圖象在某點(diǎn)的切線方程，不等式的解法，函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力．