Question

16．已知等差數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，且a₁=1，{b_n}為等比數(shù)列，且a₂=b₂，a₅=b₃，a₁₄=b₄．
（1）求{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）已知數(shù)列{c_n}滿足：a_n+1=$\frac{{c}_{1}}{_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{_{2}}$+…+$\frac{{c}_{n}}{_{n}}$，求數(shù)列{a_n•c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)遞增等差數(shù)列{a_n}的公差為d＞0，且a₁=1，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，且a₂=b₂，a₅=b₃，a₁₄=b₄．可得1+d=b₁q，1+4d=$_{1}{q}^{2}$，1+13d=$_{1}{q}^{3}$，聯(lián)立解出即可得出．
（2）c_n=2×3^n-1．可得a_n•c_n=（4n-2）•3^n-1．再利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)遞增等差數(shù)列{a_n}的公差為d＞0，且a₁=1，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，且a₂=b₂，a₅=b₃，a₁₄=b₄．
∴1+d=b₁q，1+4d=$_{1}{q}^{2}$，1+13d=$_{1}{q}^{3}$，
聯(lián)立解得d=2，q=3，b₁=1．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
b_n=3^n-1．
（2）∵a_n+1=$\frac{{c}_{1}}{_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{_{2}}$+…+$\frac{{c}_{n}}{_{n}}$，
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₂=$\frac{{c}_{1}}{_{1}}$，解得c₁=3；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=$\frac{{c}_{1}}{_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{_{2}}$+…+$\frac{{c}_{n-1}}{_{n-1}}$，可得a_n+1-a_n=$\frac{{c}_{n}}{_{n}}$=2，
∴c_n=2×3^n-1．
∴a_n•c_n=（4n-2）•3^n-1．
∴數(shù)列{a_n•c_n}的前n項(xiàng)和S_n=2+6×3+…+（4n-2）•3^n-1．
3S_n=2×3+6×3²+…+（4n-6）•3^n-1+（4n-2）•3ⁿ，
∴-2S_n=2+4（3+3²+…+3^n-1）-（4n-2）•3ⁿ=2+4×$\frac{3（{3}^{n-1}-1）}{3-1}$-（4n-2）•3ⁿ=（4-4n）•3ⁿ-4，
解得S_n=2+（2n-2）•3ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、分類討論思想方法、分組求和方法、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．