Question

6．已知函數(shù)$f（x）={sin^2}ωx+2\sqrt{3}sinωx•cosωx-{cos^2}ωx+λ（{λ∈R}）$的圖象關(guān)于直線$x=\frac{π}{3}$對稱，其中ω，λ為常數(shù)且ω∈（0，2）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）的圖象過點(diǎn)$（{\frac{π}{6}，0}）$，求函數(shù)f（x）在$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$上的值域．

Answer 1

分析 （1）化簡可得f（x）=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+λ，由對稱性可得ω，可得最小正周期；
（2）由圖象過點(diǎn)$（{\frac{π}{6}，0}）$可得λ=-1，由$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$結(jié)合三角函數(shù)的值域可得．

解答 解：（1）化簡可得f（x）=$\sqrt{3}$•2sinωxcosωx-（cos²ωx-sin²ωx）+λ
=$\sqrt{3}$sin2ωx-cos2ωx+λ=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+λ
由函數(shù)圖象關(guān)于直線$x=\frac{π}{3}$對稱可得2ω•$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得ω=$\frac{3}{2}$k+1，結(jié)合ω∈（0，2）可得ω=1，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+λ，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）∵y=f（x）的圖象過點(diǎn)$（{\frac{π}{6}，0}）$，
∴2sin（2•$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）+λ=0，解得λ=-1，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，
∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴2sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]，
∴2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1∈[-2，1]，
故函數(shù)f（x）在$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$上的值域?yàn)閇-2，1]

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及三角函數(shù)的周期性和值域，屬基礎(chǔ)題．