Question

15．已知關(guān)于x的方程2x²-（$\sqrt{3}$+1）x+m=0的兩根為sinθ和cosθ，θ∈[0，2π]．求
（1）$\frac{sinθ}{1-\frac{1}{tanθ}}$+$\frac{cosθ}{1-tanθ}$的值
（2）m的值
（3）方程的兩根及θ的值．

Answer 1

分析 （1）由韋達(dá)定理得sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，sin$θcosθ=\frac{m}{2}$，把$\frac{sinθ}{1-\frac{1}{tanθ}}$+$\frac{cosθ}{1-tanθ}$變形為sinθ+cosθ．由此能求出結(jié)果．
（2）由韋達(dá)定理結(jié)合完全平方和公式得到1+m=（$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$）2，由此能求出m．
（3）由sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$、sinθcosθ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，分別求出sinθ，cosθ，由此能求出方程的兩個(gè)根及θ的值．

解答 解：（1）∵關(guān)于x的方程2x²-（$\sqrt{3}$+1）x+m=0的兩根為sinθ和cosθ，θ∈[0，2π]，
∴sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，sin$θcosθ=\frac{m}{2}$，
∴$\frac{sinθ}{1-\frac{1}{tanθ}}$+$\frac{cosθ}{1-tanθ}$=$\frac{si{n}^{2}θ}{sinθ-cosθ}$+$\frac{co{s}^{2}θ}{cosθ-sinθ}$
=$\frac{（sinθ+cosθ）（sinθ-cosθ）}{sinθ-cosθ}$
=sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
（2）∵sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，sin$θcosθ=\frac{m}{2}$，
∴sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ=（$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$）2，即 1+m=（$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$）2，
解得 m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（3）由以上可得，sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$、sinθcosθ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
解得 sinθ=$\frac{1}{2}$，cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，或 sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosθ=$\frac{1}{2}$．
故此時(shí)方程的兩個(gè)根分別為 $\frac{1}{2}$、$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
對(duì)應(yīng)θ的值為$\frac{π}{6}$或$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值及應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、同角三角函數(shù)關(guān)系式、完全平方和公式的合理運(yùn)用．