Question

2．已知函數(shù)f（x）=ax²-x+2a-1（a＞0）．
（1）當(dāng)a=1時，求f（x）在區(qū)間[1，2]上的值域；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為g（a），求g（a）的表達(dá)式；
（3）設(shè)函數(shù)h（x）=（$\frac{1}{2}$）^x+log₂$\frac{1}{x+1}$，若對任意x₁，x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥h（x₂）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將f（x）配方，求出對稱軸，可得區(qū)間[1，2]為增區(qū)間，即可得到所求值域；
（2）求出f（x）的對稱軸，討論區(qū)間和對稱軸的關(guān)系，由單調(diào)性可得最小值；
（3）運(yùn)用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得h（x）在[1，2]遞減，h（1）為最大值，即有ax²-x+2a-1≥-$\frac{1}{2}$在[1，2]恒成立，即有a≥$\frac{x+\frac{1}{2}}{{x}^{2}+2}$在[1，2]恒成立，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得右邊函數(shù)的最大值，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）f（x）=x²-x+1=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
對稱軸為x=$\frac{1}{2}$，區(qū)間[1，2]在對稱軸的右邊，
即為增區(qū)間，x=1處取得最小值1，x=2處取得最大值為3，
則值域為[1，3]；
（2）函數(shù)f（x）=ax²-x+2a-1（a＞0）的對稱軸為x=$\frac{1}{2a}$，
當(dāng)$\frac{1}{2a}$≤1即a≥$\frac{1}{2}$時，[1，2]為增區(qū)間，g（a）=f（1）=3a-2；
當(dāng)1＜$\frac{1}{2a}$＜2，即$\frac{1}{4}$＜a＜$\frac{1}{2}$時，最小值g（a）=f（$\frac{1}{2a}$）=$\frac{8{a}^{2}-4a-1}{4a}$；
當(dāng)$\frac{1}{2a}$≥2即a≤$\frac{1}{4}$時，[1，2]為減區(qū)間，最小值g（a）=f（2）=6a-3．
綜上可得g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{6a-3，0＜a≤\frac{1}{4}}\\{\frac{8{a}^{2}-4a-1}{4a}，\frac{1}{4}＜a＜\frac{1}{2}}\\{3a-2，a≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
（3）h（x）=（$\frac{1}{2}$）^x+log₂$\frac{1}{x+1}$在[1，2]上遞減，
x=1處取得最大值$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$，
由題意可得ax²-x+2a-1≥-$\frac{1}{2}$在[1，2]恒成立，
即有a≥$\frac{x+\frac{1}{2}}{{x}^{2}+2}$在[1，2]恒成立，
由m（x）=$\frac{x+\frac{1}{2}}{{x}^{2}+2}$的導(dǎo)數(shù)為$\frac{-{x}^{2}-x+2}{（{x}^{2}+2）^{2}}$=$\frac{-（x+2）（x-1）}{（{x}^{2}+2）^{2}}$＜0在[1，2]恒成立，
即有m（x）在[1，2]遞減，
當(dāng)x=1時，取得最大值，且為$\frac{1}{2}$；
則有a≥$\frac{1}{2}$．
即為a的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的最值的求法，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用單調(diào)性求得最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．