Question

17．已知曲線Γ上的點P到點F（0，1）的距離比它到x軸的距離多1．
（Ⅰ）求曲線Γ的方程；
（Ⅱ）記曲線Γ在x軸上方的部分為曲線C，過點M（0，2）任作一直線與曲線C相交于A、B兩點，過點B作y軸的平行線與直線AO相交于點D（O為坐標原點），求點D的軌跡．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設P（x，y）為曲線Γ上任意一點，由題意得到$\sqrt{{{（x-0）}^2}+{{（y-1）}^2}}-|y|=1$，由此能求出點P的軌跡Γ的方程．
（Ⅱ）曲線C的方程：x²=4y（x≠0），設AB方程為y=kx+2，代入x²=4y，得x²-4kx-8=0，由此利用韋達定理、直線方程，結合已知條件能求出D點的軌跡方程．

解答 解：（Ⅰ）設P（x，y）為曲線Γ上任意一點，
則$\sqrt{{{（x-0）}^2}+{{（y-1）}^2}}-|y|=1$，
化簡整理得x²=2（|y|+y）．
故點P的軌跡Γ的方程為${x^2}=\left\{\begin{array}{l}4y，（y≥0）\\ 0，（y＜0）\end{array}\right.$．（6分）
（Ⅱ）依題意可知曲線C的方程：x²=4y（x≠0），
設AB方程為y=kx+2，代入x²=4y，得x²-4kx-8=0
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、，則有x₁x₂=-8，
直線AO的方程為$y=\frac{y_1}{x_1}x$，BD的方程為x=x₂，
解得交點D的坐標為$\left\{\begin{array}{l}x=x2\\ y=\frac{y1x2}{x1}.\end{array}$
由x₁x₂=-8及${x_1}^2=4{y_1}$，有$y=\frac{{{y_1}{x_1}{x_2}}}{{{x_1}^2}}=\frac{{-8{y_1}}}{{4{y_1}}}=-2$．
因此D點的軌跡是直線y=-2（x≠0）．（12分）

點評 本題考查曲線方程及點的軌跡方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理、直線方程、兩點間距離公式的合理運用．