Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=x|x-a|（a∈R）．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，寫(xiě)出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間（不需要證明）；
（2）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）的最大值為$\frac{{a}^{2}}{4}$，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出解析式，討論x≥2時(shí)，x＜2時(shí)，去掉絕對(duì)值，由二次函數(shù)的單調(diào)性，即可得到所求減區(qū)間；
（2）求出f（x）的分段函數(shù)形式，討論對(duì)稱(chēng)軸和區(qū)間的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的最值，結(jié)合分段函數(shù)解方程，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x|x-2|，
當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）=x²-2x=（x-1）²-1，
當(dāng)x＜2時(shí)，f（x）=2x-x²=-（x-1）²+1．
即有f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（1，2）；
（2）f（x）=x|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax，x≥a}\\{ax-{x}^{2}，x＜a}\end{array}\right.$，
①若a≤0，則f（x）_max=f（1）=1-a=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
⇒a=-2-2$\sqrt{2}$；
②若a＞0，則
（i）$\frac{a}{2}$＞1⇒f（x）_max=f（1）=$\frac{{a}^{2}}{4}$⇒a∈∅；
（ii） $\frac{a}{2}$≤1≤$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$a⇒f（x）_max=f（ $\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$
⇒a∈[2$\sqrt{2}$-2，2]；
（iii）1＞$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$a⇒f（x）_max=f（1）=$\frac{{a}^{2}}{4}$⇒a∈∅．
綜上：a∈[2$\sqrt{2}$-2，2]∪{-2$\sqrt{2}$-2}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷以及函數(shù)最值的應(yīng)用，利用分段函數(shù)結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．