Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$（a∈R）
（1）若0＜x≤3時(shí)，函數(shù)f（x）圖象上任意一點(diǎn)P（x₀，y₀）處切線的斜率k$≤\frac{1}{2}$恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）當(dāng)a=0時(shí)，方程f（x）=x（m-1）在區(qū)間[1，e²]內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)函數(shù)，條件轉(zhuǎn)化為a≥-$\frac{1}{2}$x²+x，x∈（0，3]恒成立，分離參數(shù)求最值，即可得出結(jié)論；
（2）分別求出直線y=（m-1）x過(guò)原點(diǎn)和A（1，0）的斜率以及過(guò)原點(diǎn)和B的斜率，從而求出m的范圍即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$，
∵y=f（x）圖象上任意一點(diǎn)的切線的斜率k≤$\frac{1}{2}$恒成立，
∴$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$，x∈（0，3]恒成立，
∴a≥-$\frac{1}{2}$x²+x，x∈（0，3]恒成立，
由 y=-$\frac{1}{2}$x²+x=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{1}{2}$，可知x=1時(shí)，函數(shù)值為$\frac{1}{2}$，
∴a≥$\frac{1}{2}$，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，+∞）．
（2）a=0時(shí)，f（x）=lnx，
x=1時(shí)，f（x）=0，x=e²時(shí)，f（x）=2，
f（x）過(guò)A（1，0），B（e²，2），
由m-1=0，解得：m=1，
由m-1=$\frac{2}{{e}^{2}}$，解得：m=$\frac{{e}^{2}+2}{{e}^{2}}$，
∴m∈[1，$\frac{{e}^{2}+2}{{e}^{2}}$）．

點(diǎn)評(píng) 題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)在圖象上某點(diǎn)處的切線的斜率就是在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，考查了利用分離變量法求參數(shù)的取值范圍，此題是中檔題．