Question

12．已知函數(shù)f（x）=2sinxcos（x+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$sin²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）使用和角公式展開(kāi)合并可得f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得出周期和單調(diào)增區(qū)間；
（2）求出g（x）的解析式，根據(jù)x的范圍求出2x-$\frac{π}{3}$的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得出g（x）的最值．

解答 解：（1）f（x）=sinxcosx-$\sqrt{3}$sin²x+$\sqrt{3}$sin²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴f（x）的最小正周期T=π．
令-$\frac{π}{2}+2kπ$≤2x≤$\frac{π}{2}+2kπ$，解得-$\frac{π}{4}$+kπ≤x≤$\frac{π}{4}$+kπ．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[-$\frac{π}{4}$+kπ，$\frac{π}{4}$+kπ]，k∈Z．
（2）g（x）=$\frac{1}{2}$sin2（x-$\frac{π}{6}$）$+\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]，∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{3}$]．
∴當(dāng)2x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）取得最小值$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，當(dāng)2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$時(shí)，f（x）取得最大值$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．