Question

10．P是銳角三角形△ABC的外心，$\overrightarrow{AP}$=k•（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）（k∈R），若cos∠BAC=$\frac{2}{5}$，則k的值為$\frac{5}{14}$．

Answer 1

分析 如圖，取BC的中點D，連接PD，AD．可得PD⊥BC，$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}$．由滿足$\overrightarrow{AP}$=k•（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）（k∈R），可得$\overrightarrow{AP}=2k\overrightarrow{AD}$，A，P，D三點共線，得到AB=AC．因此cos∠BAC=cos∠DPC=$\frac{DP}{PC}$=$\frac{DP}{PA}$=$\frac{2}{5}$．即可得出

解答 解：如圖所示，
取BC的中點D，連接PD，AD．
則PD⊥BC，$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}$．
由$\overrightarrow{AP}$=k•（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）（k∈R），可得$\overrightarrow{AP}=2k\overrightarrow{AD}$，所以A，P，D三點共線，所以AB=AC．
因此cos∠BAC=cos∠DPC=$\frac{DP}{PC}$=$\frac{DP}{PA}$=$\frac{2}{5}$．
∴AP=$\frac{5}{7}$AD，
∴2k=$\frac{5}{7}$，
解得k=$\frac{5}{14}$．
故答案為：$\frac{5}{14}$．

點評 本題考查了向量共線定理、直角三角形的邊角關(guān)系、三角形外心性質(zhì)、向量平行四邊形法則，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．