Question

16．如圖1，在平行四邊形ABB₁A₁中，∠ABB₁=60°，AB=4，AA₁=2，C，C₁分別為AB，A₁B₁的中點(diǎn)，現(xiàn)把平行四邊形ABB₁A₁沿CC₁折起如圖2所示，連接B₁C，B₁A，B₁A₁．
（1）求證：AB₁⊥CC₁；
（2）若AB₁=$\sqrt{6}$，求二面角C-AB₁-A₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，證明C₁C⊥平面OAB₁；
（2）建立空間坐標(biāo)系，利用向量法即可求二面角C-AB₁-A₁B的余弦值．

解答 證明：（1）取CC₁的中點(diǎn)O，連接OA，OB₁，AC₁，
∵在平行四邊形ABB₁A₁中，∠ABB₁=60°，AB=4，AA₁=2，C，C₁分別為AB，A₁B₁的中點(diǎn)，
∴△ACC₁，△B₁CC₁，為正三角形，
則AO⊥CC₁，OB₁⊥C₁C，又∵AO∩OB₁=O，
∴C₁C⊥平面OAB₁，
∵AB₁?平面OAB₁
∴AB₁⊥CC₁；
（2）∵∠ABB₁=60°，AB=4，AA₁=2，C，C₁分別為AB，A₁B₁的中點(diǎn)，
∴AC=2，OA=$\sqrt{3}$，OB₁=$\sqrt{3}$，
若AB₁=$\sqrt{6}$，
則OA²+OB₁²=AB₁²，
則三角形AOB₁為直角三角形，
則AO⊥OB₁，
以O(shè)為原點(diǎn)，以0C，0B₁，OA為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則C（1，0，0），B₁（0，$\sqrt{3}$，0），C₁（-1，0，0），A（0，0，$\sqrt{3}$），
則$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=（-2，0，0），
則$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=（-2，0，0），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（-1，0，-$\sqrt{3}$），
設(shè)平面AB₁C的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=\sqrt{3}y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-x-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
令z=1，則y=1，x=-$\sqrt{3}$，
則$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}$，1，1），
設(shè)平面A₁B₁A的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{A}_{1}}=-2x=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=\sqrt{3}y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
令z=1，則x=0，y=1，即$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{0+1+1}{\sqrt{3+1+1}•\sqrt{1+1}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}•\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$
由于二面角C-AB₁-A₁是鈍二面角，
∴二面角C-AB₁-A₁的余弦值是-$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評 本題綜合考查空間中線線垂直和空間角的計算，涉及二面角的平面角，利用向量法是解決空間角常用的方法，考查的知識面較廣，難度中等．