Question

2．已知函數(shù)f（x）=xln（x+1）+1．
（1）求y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線；
（2）已知函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{{x}^{3}}{3}$+$\frac{{x}^{2}}{2}$-1，判斷函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，由此利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線；
（2）令g（x）=0，f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{2}}{2}$+1問(wèn)題等價(jià)于y=f（x）與h（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{2}}{2}$+1在（-1，1）內(nèi)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，分別求出函數(shù)的最值，即可判斷函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）∵f（x）=xln（x+1）+1，
∴f′（x）=ln（x+1）+$\frac{x}{x+1}$，
∴f′（0）=0，
∵f（0）=1，
∴y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線為y=1；
（2）x∈（-1，0），f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，x∈（0，1），f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴函數(shù)的最小值，即為極小值，為f（0）=1．
令g（x）=0，f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{2}}{2}$+1問(wèn)題等價(jià)于y=f（x）與h（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{2}}{2}$+1在（-1，1）內(nèi)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，
∵h(yuǎn)′（x）=x（x-1），
∴x∈（-1，0），h′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，x∈（0，1），h′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴函數(shù)h（x）的最大值，即為極大值h（0）=1，
由f（x）和h（x）的單調(diào)性知，函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確運(yùn)用導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵．