Question

17．已知橢圓的焦點(diǎn)為F₁（0，-4）和F₂（0，4）且點(diǎn)P（$\sqrt{5}$，-3$\sqrt{3}$）在橢圓上，那么橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程式：$\frac{{y}^{2}}{36}$+$\frac{{x}^{2}}{20}$=1．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由題意可得c=4，由a，b，c的關(guān)系和點(diǎn)P滿足橢圓方程，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程．

解答 解：設(shè)橢圓的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得c=4，即a²-b²=16，
又P在橢圓上，可得$\frac{27}{{a}^{2}}$+$\frac{5}{^{2}}$=1．
解得a=6，b=2$\sqrt{5}$，
可得橢圓的方程為$\frac{{y}^{2}}{36}$+$\frac{{x}^{2}}{20}$=1．
故答案為：$\frac{{y}^{2}}{36}$+$\frac{{x}^{2}}{20}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用待定系數(shù)法，運(yùn)用橢圓的焦點(diǎn)和點(diǎn)滿足橢圓方程，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．