Question

16．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（1-2a）x+5a，x＜1}\\{lo{g}_{7}x，x≥1}\end{array}\right.$的值域為R，那么a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-$\frac{1}{3}$]
• B． （-1，$\frac{1}{2}$）
• C． [-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$）
• D． （0，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得x≥1時，f（x）遞增，且有f（x）≥0，由題意可得x＜1時，f（x）取得一切的負數(shù)，對一次項的系數(shù)討論和端點處的函數(shù)值的符號，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：由f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（1-2a）x+5a，x＜1}\\{lo{g}_{7}x，x≥1}\end{array}\right.$，可得
x≥1時，f（x）遞增，且有f（x）≥0，
由題意可得x＜1時，f（x）取得一切的負數(shù)，
由f（x）=（1-2a）x+5a，x＜1，
可得1-2a＞0，且1-2a+5a≥0，
即為a＜$\frac{1}{2}$，且a≥-$\frac{1}{3}$，即-$\frac{1}{3}$≤a＜$\frac{1}{2}$；
當(dāng)1-2a≤0時，f（x）在x＜1不能取得一切的負數(shù)．
綜上可得a的范圍是[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$）．
故選：C．

點評 本題考查函數(shù)的值域問題的解法，注意運用對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．