17.已知F是拋物線C:x2=2py,p>0的焦點(diǎn),G、H是拋物線C上不同的兩點(diǎn),且|GF|+|BF|=3,線段GH的中點(diǎn)到x軸的距離為$\frac{5}{4}$,點(diǎn)P(0,4),Q(0,8),曲線D上的點(diǎn)M滿足$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=0.
(Ⅰ)求拋物線C和曲線D的方程;
(Ⅱ)是否存在直線l:y=kx+m分別與拋物線C相交于點(diǎn)A,B(A在B的左側(cè))、與曲線D相交于點(diǎn)S,T(S在T的左側(cè)),使得△OAT與△OBS的面積相等?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,說明理由.

分析 (1)由拋物線定義知:$\frac{5}{4}$+$\frac{p}{2}$=$\frac{3}{2}$,得p=$\frac{1}{2}$,即可求出拋物線的方程;
(2)由△OAT與△OBS的面積相等,得AS=TB,可得x1+x2=x4+x3,即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解答 解:(1)由拋物線定義知:$\frac{5}{4}$+$\frac{p}{2}$=$\frac{3}{2}$,得p=$\frac{1}{2}$
故拋物線的方程為x2=y;
設(shè)M(x,y),則∵$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=0,
∴(-x,4-y)•(-x,8-y)=0,
∴x2+(y-6)2=4,
∴曲線D的方程為x2+(y-6)2=4;
(2)∵△OAT與△OBS的面積相等,
∴AT=BS,
∴AS=TB
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),S(x3,y3),T(x4,y4),
∴x1-x3=x4-x2,即x1+x2=x4+x3,
直線l:y=kx+m代入拋物線方程得:x2-kx-m=0
因?yàn)橹本l與拋物線于A、B兩點(diǎn),所以△1=k2+4km>0…①
x1+x2=k
直線l:y=kx+m代入圓方程得:(1+k2)x2+2(mk-6k)x+m2-12m+32=0
因?yàn)橹本l與圓于C,D兩點(diǎn),所以△2>0,即[2(mk-6k)]2-4(1+k2)(m2-12m+32)>0…②…(9分)
x3+x4=$\frac{12k-2mk}{1+{k}^{2}}$
因?yàn)閤1+x2=x4+x3,所以$\frac{12k-2mk}{1+{k}^{2}}$=k,化簡得k2=11-2m
代入①②得,解得-2<m<$\frac{11}{2}$.

點(diǎn)評 本題考查拋物線的方程,考查直線與拋物線、圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理的運(yùn)用,考查學(xué)生分析解決問題的能力,難度大.

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(2)試估計(jì)該學(xué)校1600名男生中身高在180cm(含180cm)以上的人數(shù);
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 小組 英語德語 日語 
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