Question

6．過點(diǎn)P（-1，1）向拋物線y²=4x作切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，過焦點(diǎn)F分別向PA，PB作垂線，垂足分別為C，D，則△FCD的面積是$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)過點(diǎn)P的切線為y-1=k（x+1），聯(lián)立拋物線的方程，運(yùn)用直線與拋物線相切的條件：判別式為0，求得切線的斜率，可得四邊形PCFD為矩形，求出切線的方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式可得矩形的兩邊長(zhǎng)，即可得到所求△PCD的面積．

解答 解：設(shè)過點(diǎn)P的切線為y-1=k（x+1），
聯(lián)立拋物線的方程，消去x，可得ky²-4y+4k+4=0，
由相切的條件，可得△=0，即為16-4k（4k+4）=0，
即k²+k-1=0，解得k=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，
由k₁k₂=-1，可得兩切線PA，PB垂直，
即有四邊形PCFD為矩形，
設(shè)PA的方程為y-1=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$（x+1），
即為$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$x-y+$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$=0，
可得F到直線PA的距離為d₁=$\frac{|\frac{-1+\sqrt{5}}{2}+\frac{1+\sqrt{5}}{2}|}{\sqrt{1+\frac{6-2\sqrt{5}}{4}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}$，
同理可得F到直線PB的距離為d₂=$\frac{|\frac{-1-\sqrt{5}}{2}+\frac{1-\sqrt{5}}{2}|}{\sqrt{1+\frac{6+2\sqrt{5}}{4}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$，
則△PCD的面積為S=$\frac{1}{2}$d₁d₂=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}$×$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程及性質(zhì)，考查直線和拋物線相切的條件，同時(shí)考查點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．