Question

7．在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=$\sqrt{3}$，將△ABC沿BD折起到△PBD的位置，若平面PBD⊥平面CBD，則三棱錐P-BCD的外接球體積為$\frac{5\sqrt{5}}{6}π$．

Answer 1

分析 根據(jù)已知，求出三棱錐P-BCD的外接球半徑，代入球的體積公式，可得答案．

解答 解：∵菱形ABCD中，∠A=60°，AB=$\sqrt{3}$，
∴BD=$\sqrt{3}$，AC=3，
即△BCD，△BAD是邊長(zhǎng)為$\sqrt{3}$的等邊三角形，其外接圓半徑為1，
將△ABC沿BD折起到△PBD的位置，且平面PBD⊥平面CBD，

取BD中點(diǎn)E，連接PE，CE，則∠PEC=$\frac{π}{2}$，PE=CE=$\frac{3}{2}$，
則${R}^{2}=（\frac{3}{2}-1）^{2}+（\frac{3}{2}-1）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$，
解得：R=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故三棱錐P-BCD的外接球體積V=$\frac{4}{3}{πR}^{3}$=$\frac{5\sqrt{5}}{6}π$，
故答案為：$\frac{5\sqrt{5}}{6}π$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球的內(nèi)接多面體，球的體積計(jì)算，根據(jù)已知求出球的半徑是解答的關(guān)鍵．