Question

8．某中學(xué)高三（10）班女同學(xué)有45名，男同學(xué)有15名，老師按照分層抽樣的方法組建了一個4人的課外興趣小組．
（1）求某同學(xué)被抽到的概率及課外興趣小組中男、女同學(xué)的人數(shù)；
（2）經(jīng)過一個月的學(xué)習(xí)、討論，這個興趣小組決定選出兩名同學(xué)做某項實驗，方法是先從小組里選出一名同學(xué)做實驗，該同學(xué)做完后，再從小組內(nèi)剩下的同學(xué)中選一名同學(xué)做實驗，求選出的兩名同學(xué)中恰有一名男同學(xué)的概率；
（3）實驗結(jié)束后，第一次做實驗的同學(xué)A與第二次做實驗的同學(xué)B得到的實驗數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，請問哪位同學(xué)的實驗更穩(wěn)定？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意知某同學(xué)被抽到的概率p=$\frac{1}{15}$，由此能求出課外興趣小組中男、女同學(xué)的人數(shù)．
（2）把3名女同學(xué)和1名男同學(xué)分別記為a₁，a₂，a₃，b，由此利用列舉法能求出選出的兩名同學(xué)中恰有一名男同學(xué)的概率．
（3）由題意分別求出第一次做實驗的同學(xué)A與第二次做實驗的同學(xué)B得到的實驗數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差，由$\overline{{x}_{A}}$=$\overline{{x}_{B}}$，${{S}_{A}}^{2}＞{{S}_{B}}^{2}$，得到第二次做實驗的同學(xué)B的實驗更穩(wěn)定．

解答 解：（1）由題意知某同學(xué)被抽到的概率p=$\frac{4}{60}=\frac{1}{15}$，
設(shè)課外興趣小組中女同學(xué)的人數(shù)為x，
則$\frac{45}{60}=\frac{x}{4}$，解得x=3，
∴課外興趣小組中男同學(xué)的人數(shù)為4-3=1人，
故課外興趣小組中男、女同學(xué)的人數(shù)分別為1人和3人．
（2）把3名女同學(xué)和1名男同學(xué)分別記為a₁，a₂，a₃，b，
則選取兩名同學(xué)的可能結(jié)果有：
（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₁，b），（a₂，a₁），（a₂，a₃），（a₂，b），（a₃，a₁），（a₃，a₂），（a₃，b），（b，a₁），（b，a₂），（b，a₃），共12個，
其中恰有一名男同學(xué)的有：（a₁，b），（a₂，b），（a₃，b），（b，a₁），（b，a₂），（b，a₃），共6個，
∴選出的兩名同學(xué)中恰有一名男同學(xué)的概率p=$\frac{6}{12}$=$\frac{1}{2}$．
（3）由題意知$\overline{{x}_{A}}$=$\frac{68+70+71+72+74}{5}$=71，
$\overline{{x}_{B}}$=$\frac{69+70+70+72+74}{5}$=71，
∴${{S}_{A}}^{2}=\frac{1}{5}$[（68-71）²+（70-71）²+（71-71）²+（72-71）²+（74-71）²]=4，
${{S}_{B}}^{2}$=$\frac{1}{5}$[（69-71）²+（70-71）²+（70-71）²+（72-71）²+（74-71）²]=3.2，
∵$\overline{{x}_{A}}$=$\overline{{x}_{B}}$，${{S}_{A}}^{2}＞{{S}_{B}}^{2}$，
∴第二次做實驗的同學(xué)B的實驗更穩(wěn)定．

點評 本題考查概率的求法，考查方差的求法及應(yīng)用，是中檔題，解題時要認真審題，注意列舉法和分層抽樣的性質(zhì)的合理運用．