Question

17．由空間一點(diǎn)O出發(fā)的四條射線兩兩所成的角相等，則這個(gè)角的余弦值為-$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 構(gòu)造正四面體ABCD中，中心O到各頂點(diǎn)連線所夾的角相等，則∠AOD就為所求的角，由此能求出這個(gè)角的余弦值．

解答 解：如圖，正四面體ABCD中，中心O到各頂點(diǎn)連線所夾的角相等，
則∠AOD就為所求的角，
設(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，
作AE⊥面BCD，垂足為E，作BF⊥CD，交CD于F，則O∈AE，E∈AF，連結(jié)AF，
則BF=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{a}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，BE=$\frac{2}{3}BF=\frac{\sqrt{3}}{3}a$，AE=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}a$，
設(shè)OA=OB=r，則OE=$\frac{\sqrt{6}}{3}a-r$，
則${r}^{2}=（\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}+（\frac{\sqrt{6}}{3}a-r）^{2}$，
解得r=$\frac{\sqrt{6}}{4}a$，
∴cos∠AOD=$\frac{O{A}^{2}+O{D}^{2}-A{D}^{2}}{2OA•OD}$=$\frac{\frac{3}{8}{a}^{2}+\frac{3}{8}{a}^{2}-{a}^{2}}{2×\frac{\sqrt{6}}{4}a×\frac{\sqrt{6}}{4}a}$=-$\frac{1}{3}$．
∴這個(gè)角的余弦值為-$\frac{1}{3}$．
故答案為：-$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法、余弦定理的合理運(yùn)用．