Question

6．設函數(shù)f（x）=$\frac{2+lnx}{x}$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）如果對任意的x₁，x₂∈[1，+∞），有|{f（x₁）-f（x₂）|≥k|${\frac{1}{x_1}$-$\frac{1}{x_2}}$|成立，求實數(shù)k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的正負，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而可求實數(shù)a的值及f（x）的極值；
（2）根據(jù)不等式單調(diào)函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系，將不等式進行轉(zhuǎn)化，利用導數(shù)求函數(shù)的最值即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）函數(shù)的f（x）的導數(shù)f′（x）=-$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$=0，
∴x=$\frac{1}{e}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{e}$，+∞）單調(diào)遞減，
故f（x）在x=$\frac{1}{e}$處取得極大值e，無極小值；
（2）由（1）的結(jié)論知，f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，不妨設x₁≥x₂≥1，
則|f（x₁）-f（x₂）|≥k|${\frac{1}{x_1}$-$\frac{1}{x_2}}$|，f（x₂）-f（x₁）≥k（$\frac{1}{x_2}}$-${\frac{1}{x_1}$），
?f（x₂）-k•$\frac{1}{x_2}}$≥f（x₁）-k•${\frac{1}{x_1}$，
?函數(shù)F（x）=f（x）-$\frac{k}{x}$=$\frac{2-k+lnx}{x}$在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
則F′（x）=$\frac{k-1-lnx}{{x}^{2}}$≤0在[1，+∞）上恒成立，
∴k≤1+lnx在[1，+∞）上恒成立，
在[1，+∞）上，（1+lnx）_min=1，
故k≤1，
∴實數(shù)k的最大值為1．

點評 本題主要考查導數(shù)的綜合應用，考查函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)極值，最值，正確求出導數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．