Question

14．二次函數(shù)f（x）的最小值為1，且f（0）=f（2）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在區(qū)間[2a，a+1]上不單調，求a的取值范圍．
（3）在區(qū)間[-1，3]上，y=f（x）的圖象恒在y=2x+2m+1的圖象上方，試確定實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法先設函數(shù)f（x）的解析式，再由已知條件求解未知量即可，
（2）只需保證對稱軸落在區(qū)間內部即可，
（3）在區(qū)間[-1，3]上，y=f（x）的圖象恒在y=2x+2m+1的圖象上方，直接利用二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）為二次函數(shù)且f（0）=f（2），
∴對稱軸為x=1．
又∵f（x）最小值為1，∴可設f（x）=a（x-1）²+1�。╝＞0）
∵f（0）=3，∴a=2，∴f（x）=2（x-1）²+1，
即f（x）=2x²-4x+3．
（2）由條件知2a＜1＜a+1，∴0＜a＜$\frac{1}{2}$．
（3）x∈[-1，3]時，2x²-4x+3＞2x+2m+1，
∴2m＜2x²-6x+2，
即-1≤x≤3時：，m＜x²-3x+1，
令g（x）=x²-3x+1=${（x-\frac{3}{2}）}^{2}$-$\frac{5}{4}$，（-1≤x≤3），
∴g（x）的對稱軸是x=$\frac{3}{2}$，函數(shù)在[-1，$\frac{3}{2}$）遞減，在（$\frac{3}{2}$，3]遞增，
∴g（x）_min=g（$\frac{3}{2}$）=-$\frac{5}{4}$，
∴m＜-$\frac{5}{4}$．

點評 本題考查函數(shù)的解析式的求法二次函數(shù)的最值，函數(shù)的恒成立條件的應用，考查分析問題解決問題的能力．