Question

9．在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知圓C：ρ=2cosθ-2sinθ，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=-1+2\sqrt{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），直線l與圓C分別交于M、N，點(diǎn)P是圓C上不同于M、N的任意一點(diǎn)．
（1）寫出C的直角坐標(biāo)方程和l的普通方程；
（2）求△PMN面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化，寫出結(jié)果即可．
（2）求出圓心到直線的距離，求出P到直線MN的距離的最大值，然后求解三角形的面積．

解答 （本小題滿分10分）
解：（1）圓C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=2x-2y，即（x-1）²+（y+1）²=2．
直線l的普通方程為$2\sqrt{2}x-y-1=0$．…（5分）
（2）圓心（1，-1）到直線l：$2\sqrt{2}x-y-1=0$的距離為d=$\frac{|2\sqrt{2}+1-1|}{3}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
所以，|MN|=2$\sqrt{{r}^{2}-d}$=$2\sqrt{2-\frac{8}{9}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$．
而點(diǎn)P到直線MN的距離的最大值為r+d=$\sqrt{2}+\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{5\sqrt{2}}{3}$．
S_△PMN=$\frac{1}{2}×\frac{5\sqrt{2}}{3}×\frac{2\sqrt{10}}{3}$=$\frac{10\sqrt{5}}{9}$                     …（10分）

點(diǎn)評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化，考查計算能力．