Question

2．如圖，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC=4，AB=AD=2．
（1）求證：AC⊥BF；
（2）在線段BE上是否存在一點(diǎn)P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出$\frac{|BP|}{|PE|}$的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知得AF⊥平面ABCD，AF⊥AC，過A作AH⊥BC于H，由勾股定理得AC⊥AB，由此能證明AC⊥BF．
（2）分別以$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AC}、\overrightarrow{AF}$方向為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，利用向量法能求出在線段BE上存在一點(diǎn)P，使得平面PAC⊥平面BCEF，$\frac{|BP|}{|PE|}$=$\frac{2}{3}$．

解答 證明：（1）∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，
AF⊥AD，AF?平面ADEF，
∴AF⊥平面ABCD，
∵AC?平面ABCD，∴AF⊥AC，
過A作AH⊥BC于H，則BH=1，AH=$\sqrt{3}$，CH=3，
∴AC=2$\sqrt{3}$，∴AB²+AC²=BC²，∴AC⊥AB，
∴AC⊥平面FAB，∴AC⊥BF．
解：（2）由（1）知AF、AB、AC兩兩互相垂直，
分別以$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AC}、\overrightarrow{AF}$方向為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2$\sqrt{3}$，0），E（-1，$\sqrt{3}$，2），
假設(shè)在線段BE上存在一點(diǎn)P滿足題意，
設(shè)$\frac{|BP|}{|PE|}$=λ，（λ＞0），
則P（$\frac{2-λ}{1+λ}$，$\frac{\sqrt{3}λ}{1+λ}$，$\frac{2λ}{1+λ}$），
設(shè)平面PAC的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\overrightarrow{AP}$=（$\frac{2-λ}{1+λ}$，$\frac{\sqrt{3}λ}{1+λ}$，$\frac{2λ}{1+λ}$），$\overrightarrow{AC}$=（0，2$\sqrt{3}$，0），得：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}=\frac{2-λ}{1+λ}x+\frac{\sqrt{3}λ}{1+λ}y+\frac{2λ}{1+λ}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}=（1，0，\frac{λ-2}{2λ}）$，
設(shè)平面BCEF的法向量$\overrightarrow{n}=（a，b，c）$，
$\overrightarrow{BC}$=（-2，2$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{BE}$=（-3，$\sqrt{3}$，2），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-2a+2\sqrt{3}b=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=-3a+\sqrt{3}b+2c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1），
∵平面PAC⊥平面BCEF，∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=1+0+$\frac{λ-2}{2λ}$=0，解得$λ=\frac{2}{3}$，
∴在線段BE上存在一點(diǎn)P，使得平面PAC⊥平面BCEF，$\frac{|BP|}{|PE|}$=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查異面直線垂直的證明，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要注意向量法的合理運(yùn)用．