Question

7．已知a_n＞0，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且滿足$a_n^2+2{a_n}$=4S_n+3
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；  
（2）設(shè)${b_n}=\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$求b_n的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出a₁的值，再利用前n項(xiàng)和公式S_n的定義，得出a_n與a_n-1的關(guān)系，即得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）用裂項(xiàng)法表示出b_n，求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，${{a}_{1}}^{2}$+2a₁=4S₁+3=4a₁+3，
因?yàn)閍_n＞0，所以a₁=3…（1分）
當(dāng)n≥2時(shí)，$a_n^2+2{a_n}-a_{n-1}^2-2{a_{n-1}}$=4S_n+3-4S_n-1-3=4a_n，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=2（a_n+a_n-1），
因?yàn)閍_n＞0，所以a_n-a_n-1=2，…（3分）
所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，
所以a_n=2n+1；…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b_n=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）…（7分）
所以數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為
T_n=b₁+b₂+…+b_n
=$\frac{1}{2}$[（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）]
=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{4n+6}$…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了用裂項(xiàng)法求和的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．