Question

8．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，點（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在橢圓上．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過F₁的直線與橢圓相較于P、Q兩點，設△PQF₂內(nèi)切圓的面積為S，求S最大時圓的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用橢圓離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，設出橢圓方程為$\frac{x^2}{{2{m^2}}}+\frac{y^2}{m^2}=1$，通過點的坐標在橢圓上，求解即可．
（Ⅱ）設直線PF₁的方程為x=ny-1，與橢圓聯(lián)立，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用韋達定理求出|y₁-y₂|，令t=n²+1，利用基本不等式求出最值．然后求解△PQF₂面積最大值，得到PF₂的方程，圓的方程．

解答 解：（Ⅰ）由題意，橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
故設橢圓方程為$\frac{x^2}{{2{m^2}}}+\frac{y^2}{m^2}=1$，
將$（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$帶入上式，得m²=1．
所以橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…．（4分）
（Ⅱ）設直線PF₁的方程為x=ny-1，與橢圓聯(lián)立得，（n²+2）y²-2ny-1=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則${y_1}+{y_2}=\frac{2n}{{{n^2}+2}}$，g（x），
∴$|{{y_1}-{y_2}}|=\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=2\sqrt{2}\sqrt{\frac{{{n^2}+1}}{{{{（{n^2}+2）}^2}}}}$…．（8分）
令t=n²+1，則$|{{y_1}-{y_2}}|=2\sqrt{2}\sqrt{\frac{t}{{{t^2}+2t+1}}}=2\sqrt{2}\sqrt{\frac{1}{{t+\frac{1}{t}+2}}}≤\sqrt{2}$，
當且僅當n=0時等號成立．
由題意，因為△PQF₂的周長為定值，
因此當△PQF₂面積取最大值時，它的內(nèi)切圓面積S也取得最大值，
而${S_{△PQ{F_2}}}=\frac{1}{2}|{{F_1}{F_2}}||{{y_1}-{y_2}}|=|{{y_1}-{y_2}}|$，
所以，當n=0時，S取得最大值．
此時，△PQF₂的內(nèi)切圓圓心一定在x軸上，
設其坐標為（x₀，0），取點P的坐標為$（-1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，
則PF₂的方程為$\sqrt{2}x+4y-\sqrt{2}=0$．
∴$|{{x_0}+1}|=\frac{{|{\sqrt{2}{x_0}-\sqrt{2}}|}}{{3\sqrt{2}}}=r$，得${x_0}=-\frac{1}{2}$或x₀=-2（舍）
∴$r=\frac{1}{2}$，圓心為$（-\frac{1}{2}，0）$，此時圓的方程為${（x+\frac{1}{2}）^2}+{y^2}=\frac{1}{4}$．…（12分）．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的位置關系的應用，考查韋達定理的應用，基本不等式的應用，考查分析問題解決問題的能力．