Question

12．2015年12月27日全國(guó)人大常委會(huì)會(huì)議通過了關(guān)于修教口與計(jì)劃生育法的決定，“全面二孩”從2016年元旦起開給實(shí)施．A市婦聯(lián)為了解該市市民對(duì)“全面二孩”政策的態(tài)度，隨機(jī)抽取了男性市民45人、女性市民55人進(jìn)行調(diào)查，得到以下2×2列聯(lián)表．

	支持	反對(duì)	合計(jì)
男性	30	15	45
女性	45	10	55
合計(jì)	75	25	100

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有90%的把握認(rèn)為A市市民“支持全面二孩”與“性別”有關(guān)？
（2）現(xiàn)從參與調(diào)查的女性用戶中按分層抽樣的方法選出11名發(fā)放禮品，在所抽取的11人中分別求出“支持”和“不支持”態(tài)度的人數(shù)；
（3）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率，現(xiàn)在從A市所有市民中，采取隨機(jī)抽樣的方法抽取3位市民進(jìn)行長(zhǎng)期跟蹤調(diào)查，記被抽取的3位市民中持“支持”態(tài)度人數(shù)為X．
①求X的分布列；
②求X的數(shù)學(xué)期望E（X）和方差D（X）．
附表及公式：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

K²=$\frac{n（ad-bc）^2}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

Answer 1

分析 （1）計(jì)算K²，與2.706比較大小；
（2）根據(jù)各層的人數(shù)比例計(jì)算；
（3）求出X的分布列，代入公式計(jì)算數(shù)學(xué)期望和方差．

解答 解：（1）K²=$\frac{100（30×10-45×15）^{2}}{45×55×75×25}$≈3.0303．
∵3.0303＞2.706，
∴有90%的把握認(rèn)為A市市民“支持全面二孩”與“性別”有關(guān)．
（2）11×$\frac{45}{10+45}$=9，11×$\frac{10}{45+10}=2$．
所以在所抽取的11人中分別“支持”態(tài)度的人數(shù)為9，“不支持”態(tài)度的人數(shù)為2．
（3）①市民持支持態(tài)度的概率為$\frac{3}{4}$，不支持態(tài)度的概率$\frac{1}{4}$，
X的取值為0，1，2，3．
于是P（X=0）=（$\frac{1}{4}$）³=$\frac{1}{64}$，P（X=1）=${C}_{3}^{1}$×$\frac{3}{4}×（\frac{1}{4}）^{2}$=$\frac{9}{64}$，P（X=2）=${C}_{3}^{2}$×（$\frac{3}{4}$）²×$\frac{1}{4}$=$\frac{27}{64}$，P（X=3）=（$\frac{3}{4}$）³=$\frac{27}{64}$．
∴隨機(jī)變量X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$

②X的數(shù)學(xué)期望E（X）=0×$\frac{1}{64}+1×\frac{9}{64}+2×\frac{27}{64}+3×\frac{27}{64}$=$\frac{9}{4}$．
X的方差D（X）=$\frac{1}{64}×（-\frac{9}{4}）^{2}$+$\frac{9}{64}×（1-\frac{9}{4}）^{2}$+$\frac{27}{64}×（2-\frac{9}{4}）^{2}$+$\frac{27}{64}×（3-\frac{9}{4}）^{2}$=$\frac{9}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)，分層抽樣，隨機(jī)變量分布，屬于中檔題．