Question

20．在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠APB=90°，點(diǎn)M是線(xiàn)段AB上的一點(diǎn)，且PM⊥CD，AB=BC=2PB=2AD=4BM．
（1）證明：平面PAB⊥平面ABCD；
（2）求平面ABCD與平面PCD所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知條件推導(dǎo)出PM⊥AB，從而得到PM⊥面ABCD，由此能證明面PAB⊥面ABCD．
（2）根據(jù)二面角的定義，作出二面角的平面角，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 （1）證明：∵AB=2PB=4BM，∴PM⊥AB，
又∵PM⊥CD，且AB∩CD，
∴PM⊥面ABCD，
∵PM?面PAB．∴面PAB⊥面ABCD．
（2）過(guò)點(diǎn)M作MH⊥CD，連結(jié)HP，
∵PM⊥CD，且PM∩MH=M，
∴CD⊥平面PMH，
∴CD⊥PH，
則∠PHM是二面角平面PCD與平面ABCD所成角的平面角，
在四棱錐P-ABCD中，設(shè)AB=2t，
則DM=$\frac{\sqrt{13}}{2}$t，PM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，MH=$\frac{7\sqrt{5}}{10}$t，
∴PH=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$t，
從而cos∠PHM=$\frac{HM}{PH}$=$\frac{\frac{7\sqrt{5}}{10}t}{\frac{4\sqrt{5}}{5}t}$=$\frac{7}{8}$，
即平面ABCD與平面PCD所成的銳二面角的余弦值是$\frac{7}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．利用定義法作出二面角的平面角是解決本題的關(guān)鍵．