Question

7．如圖，已知長(zhǎng)方形ABCD中，AB=2，AD=1，M為DC的中點(diǎn)，將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，N是AM上任一點(diǎn)．
（1）求證：DM⊥BM；
（2）若點(diǎn)E是線段DB上的一動(dòng)點(diǎn)，問點(diǎn)E在何位置時(shí)，二面角E-AM-D的余弦值$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可證明DM⊥BM；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法表示出E的坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用向量法進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）取AB的中點(diǎn)H，連接DH，BM，

則BM∥OH，且BM⊥AM，DO⊥AM，
∵平面ADM⊥平面ABCM，DO⊥AM
∴DO⊥平面ABCM，
則DO⊥BM，
∵BM⊥AM，DM∩AM=M，
∴BM⊥平面ADM，
∵DM?平面ADM
∴BM⊥DM．
（2）建立以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OH，OD分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
∵AB=2，AD=1，M為DC的中點(diǎn)，
∴AM=BM=$\sqrt{2}$，OA=OH=OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則A（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，0），H（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），D（0，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），M（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，0），B（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$，0）
則平面AMD的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
設(shè)平面EAM的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{DB}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
設(shè)$\overrightarrow{DE}$=m$\overrightarrow{DB}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$m，$\sqrt{2}$m，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$m），0≤m≤1
則$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）+（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$m，$\sqrt{2}$m，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$m）=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（1+m），$\sqrt{2}$m，$\frac{\sqrt{2}}{2}$（1-m）），
$\overrightarrow{AM}$=（-$\sqrt{2}$，0，0），
則$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{AE}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（1+m）x+$\sqrt{2}$my+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（1-m）z=0，
$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{AM}$=-$\sqrt{2}$x=0，
則x=0，$\sqrt{2}$my+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（1-m）z=0，
令z=1，則y=$\frac{m-1}{2m}$，
即$\overrightarrow{n}$=（0，$\frac{m-1}{2m}$，1），
則|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{|\frac{m-1}{2m}|}{\sqrt{1+（\frac{m-1}{2m}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
平方得5（$\frac{m-1}{2m}$）²=1+（$\frac{m-1}{2m}$）²，
即（$\frac{m-1}{2m}$）²=$\frac{1}{4}$，
則$\frac{m-1}{2m}$=-$\frac{1}{2}$
即m-1=-m，得m=$\frac{1}{2}$，
即$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DB}$，
此時(shí)E是BD的中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線垂直的判定以及二面角的求解，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行求解，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．