Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足當(dāng)x＞0時，f（x）＞1，且對任意的x、y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y），f（1）=2，求解不等式f（3-2x）＞4．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用賦值法，先求出f（0），f（2）的值，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，再得到不等式解得即可．

解答： 解：∵設(shè)x=0，y=1得：f（0+1）=f（0）•f（1），
即f（1）=f（0）•f（1）
∵f（1）＞1
∴f（0）=1
對x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，有x₂-x₁＞0
∴f（x₂）=f（x₁+x₂-x₁）=f（x₁）•f（x₂-x₁）中有f（x₂-x₁）＞1，
由已知可，得當(dāng)x₁＞0時，f（x₁）＞1＞0
當(dāng)x₁=0時，f（x₁）=1＞0
當(dāng)x₁＜0時，f（x₁）•f（-x₁）=f（x₁-x₁）=f（0）=1
又∵f（-x₁）＞1
∴0＜f（x₁）＜1
故對于一切x₁∈R，有f（x₁）＞0
∴f（x₂）=f（x₁）•f（x₂-x₁）＞f（x₁），
∴函數(shù)f（x）為增函數(shù)．
再令x=y=1，
得f（1+1）=f（1）•f（1），
得f（2）=4，
∵f（3-2x）＞4=f（2）
∴3-2x＞2
解得x＜

1

2

，
故原不等式的解集為（-∞，

1

2

）

點評：本題主要考查了抽象函數(shù)表達式反映函數(shù)性質(zhì)及抽象函數(shù)表達式的應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的定義及其證明，利用函數(shù)性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性解不等式的方法，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法