Question

8．已知定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，對定義域內(nèi)的任意實數(shù)x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且f（2）=1，
（Ⅰ）求f（1），f（-1）的值；
（Ⅱ）試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并給出證明；
（Ⅲ）如果f（2-x）≥2，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令x=y=1，可得f（1）；再令x=y=-1，可得f（-1）：
（Ⅱ）f（x）為偶函數(shù)．令y=-1，代入結合f（-1）=0，即可判斷；
（Ⅲ）令x=y=2，求得f（4）=2，即有f（2-x）≥f（4），由f（x）為偶函數(shù)，可得f（x）=f（|x|），即有f（|2-x|）≥f（4），由單調(diào)性可得|x-2|≥4，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）令x=y=1，即有f（1）=f（1）+f（1），即為f（1）=0，
令x=y=-1，即有f（1）=f（-1）+f（-1）=0，即為f（-1）=0：
（Ⅱ）f（x）為偶函數(shù)．
證明：令y=-1，即有f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），
所以f（x）為偶函數(shù)；
（Ⅲ）令x=y=2，可得f（4）=2f（2）=2，
則f（2-x）≥2=f（4），
由f（x）為偶函數(shù)，可得f（x）=f（|x|），
即有f（|2-x|）≥f（4），
由f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，可得
|x-2|≥4，解得x≥6或x≤-2，
故x的取值范圍為x≥6或x≤-2．

點評 本題考查抽象函數(shù)的運用：求函數(shù)值和判斷奇偶性、解不等式，考查賦值法的運用和函數(shù)的單調(diào)性的運用，考查運算能力，屬于中檔題．