Question

3．已知曲線C₁的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosφ}\\{y=\frac{5\sqrt{22}}{22}sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程是psin（$θ-\frac{π}{6}$）=0，且曲線C₁與曲線C₂在第一象限的交點(diǎn)為A，長(zhǎng)方形ABCD的頂點(diǎn)都在C₁上（其中A，B，C，D依逆時(shí)針次序排列）求點(diǎn)A，B，C，D的直角坐標(biāo)．

Answer 1

分析 求出曲線C₁、C₂的普通坐標(biāo)方程，聯(lián)立方程組得A（$\sqrt{3}$，1），由此利用橢圓的對(duì)稱性能求出點(diǎn)A，B，C，D的直角坐標(biāo)．

解答 解：∵曲線C₁的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosφ}\\{y=\frac{5\sqrt{22}}{22}sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），
∴曲線C₁的普通方程是$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{22{y}^{2}}{25}$=1，
∵曲線C₂的極坐標(biāo)方程是ρsin（$θ-\frac{π}{6}$）=0，
即$ρsinθcos\frac{π}{6}-ρcosθsin\frac{π}{6}$=0，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ-\frac{1}{2}ρcosθ=0$，
∴曲線C₂的普通坐標(biāo)方程$\frac{\sqrt{3}}{2}y-\frac{1}{2}x=0$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{15}+\frac{22{y}^{2}}{25}=1}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}y-\frac{1}{2}x=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∵曲線C₁與曲線C₂在第一象限的交點(diǎn)為A，∴A（$\sqrt{3}$，1），
∵長(zhǎng)方形ABCD的頂點(diǎn)都在C₁上（其中A，B，C，D依逆時(shí)針次序排列），
∴A（$\sqrt{3}$，1），B（-$\sqrt{3}$，1），C（-$\sqrt{3}$，-1），D（$\sqrt{3}$，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查長(zhǎng)方形的四個(gè)頂點(diǎn)的直角坐標(biāo)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)、直角坐標(biāo)互化公式的合理運(yùn)用．