Question

20．已知數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=$\frac{48}{（n+2）^{2}-4}$，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項的和，則與S₉₈最接近的整數(shù)是（　�。�

• A． 20
• B． 21
• C． 24
• D． 25

Answer 1

分析 由題意可得，a_n=$\frac{48}{（n+2）^{2}-4}$=12（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+4}$），利用裂項求和可得S_n=25-12（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+$\frac{1}{n+4}$），求出結果再跟選項相比較即可．

解答 解：∵a_n=$\frac{48}{（n+2）^{2}-4}$=12（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+4}$）
∴S_n=12（1-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+4}$）=12（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$-$\frac{1}{n+4}$）=25-12（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+3}$+$\frac{1}{n+4}$）
∴與S₉₈最接近的整數(shù)是25；
故選D．

點評 本題主要考查了數(shù)列的求和，而求和方法的選擇最關鍵的是觀察通項公式，正確裂項．