Question

13．已知下列四個命題：①函數$f（x）=1+\frac{2}{{2}^{x}-1}，g（x）=（x-1）\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$都是偶函數；②若函數f（x）滿足f（2+x）+f（2-x）=2，且f（-1）=0，則f（5）=2；③函數f（x+2）的定義域是（-2，4），則f（x²-3）的定義域是$（\sqrt{3}，3）$；④設f（x）是定義域為[-1，1]的奇函數，且f（x）在[0，1]上單調遞增，若g（x）=|f（x）|，則對任意x₁、x₂∈[-1，1]，有$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}＞0$，其中正確命題的序號是②．

Answer 1

分析 判定兩個函數的奇偶性，可判斷①；分析函數的對稱性，可判斷②；求出f（x²-3）的定義域，可判斷③；分析g（x）=|f（x）|的單調性，可判斷④．

解答 解：①函數$f（x）=1+\frac{2}{{2}^{x}-1}$定義域關于原點對稱，且f（-x）=-f（x）恒成立，
故函數f（x）為奇函數；
函數$g（x）=（x-1）\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$定義域[-1，1）不關于原點對稱，
故g（x）為非奇非偶函數，故①錯誤；
②若函數f（x）滿足f（2+x）+f（2-x）=2，
則函數f（x）的圖象關于（2，1）點對稱，
又由f（-1）=0得：f（5）=2，故②正確；
③函數f（x+2）的定義域是（-2，4），則x+2∈（0，6），
由x²-3∈（0，6）得：x∈（-3，-$\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$.3），
故f（x²-3）的定義域是（-3，-$\sqrt{3}$）∪$（\sqrt{3}，3）$，故③錯誤；
④設f（x）是定義域為[-1，1]的奇函數，且f（x）在[0，1]上單調遞增，
則f（x）在[-1，0]上單調遞增，
若g（x）=|f（x）|，則g（x）在[-1，0]上單調遞減，在[0，1]上單調遞增，
故對任意x₁、x₂∈[-1，1]，有$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}＞0$，錯誤，故④錯誤；
綜上所述，正確的命題的序號為：②，
故答案為：②

點評 本題以命題的真假判斷為載體，考查了函數的奇偶性，對稱性，定義域和單調性，難度中檔．