Question

12．定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對(duì)任意x∈D，存在常數(shù)M≥0，都有|f（x）|≤M成立，則稱(chēng)f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱(chēng)為函數(shù)f（x）的一個(gè)上界，已知函數(shù)g（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1-ax}{x-1}$為奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，有g(shù)（1-m）+g（1-m²）＜0，求m的取值范圍；
（3）求函數(shù)g（x）在區(qū)間[$\frac{5}{3}$，3]上的所有上界構(gòu)成的集合．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)定義判斷．
（2）根據(jù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為不等式組有$\left\{\begin{array}{l}{1-m＜1-{m}^{2}}\\{-1＜m-1＜1}\\{-1＜1-{m}^{2}＜1}\end{array}\right.$，求解即可．
（3）利用函數(shù)g（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1+x}{x-1}$，在區(qū)間[$\frac{5}{3}$，3]上是單調(diào)遞增，得出g（3）=-1，g（$\frac{5}{3}$）=-2，|g（x）|≤2，再根據(jù)上界判斷即可．

解答 解：
（1）∵函數(shù)g（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1-ax}{x-1}$為奇函數(shù)．
∴g（-x）=-g（x），
即log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1+ax}{-x-1}$=-log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1-ax}{x-1}$
∴$\frac{1+ax}{-x-1}$=$\frac{x-1}{1-ax}$，1-x²=1-a²x²
得出；a=±1，而a=1時(shí)不符合題意，
故a=-1，
（2）g（1-m）+g（1-m²）＜0，g（1-m）＜g（m²-1），g（x）為增函數(shù)，所以有$\left\{\begin{array}{l}{1-m＜1-{m}^{2}}\\{-1＜m-1＜1}\\{-1＜1-{m}^{2}＜1}\end{array}\right.$，解得1$＜m＜\sqrt{2}$，
故不等式的解集{m|1$＜m＜\sqrt{2}$}，
（3）由（1）得：g（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1+x}{x-1}$，因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1+x}{x-1}$，在區(qū)間（1，+∞）上是單調(diào)遞增，
即函數(shù)g（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1+x}{x-1}$，在區(qū)間[$\frac{5}{3}$，3]上是單調(diào)遞增，
g（3）=-1，g（$\frac{5}{3}$）=-2，|g（x）|≤2
所以g（x）在區(qū)間[$\frac{5}{3}$，3]上的所有上界構(gòu)成的集合（2，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了函數(shù)的概念，性質(zhì)，結(jié)合不等式解決問(wèn)題，屬于中檔問(wèn)題，關(guān)鍵是利用單調(diào)性，得出范圍，即可．