Question

11．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{log_2}（2-x），0≤x＜k\\{x^3}-3{x^2}+3，k≤x≤a\end{array}\right.$．若存在實(shí)數(shù)k使得函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-1，1]，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． $[\frac{3}{2}，1+\sqrt{3}]$
• B． $[2，1+\sqrt{3}]$
• C． [1，3]
• D． [2，3]

Answer 1

分析 由分段函數(shù)知要分類討論，由y=log₂（2-x）知$\frac{3}{2}$≤k≤2，從而求導(dǎo)y′=3x²-6x=3x（x-2），從而可得a≥2且f（a）=a³-3a²+3≤1，從而解得．

解答 解：∵y=log₂（2-x）的定義域?yàn)椋?∞，2），
∴0＜k≤2，
當(dāng)x∈[0，k）時(shí)，log₂（2-k）＜log₂（2-x）≤1；
又∵log₂（2-k）≥-1，
∴0＜k≤$\frac{3}{2}$，
∵y=x³-3x²+3的導(dǎo)數(shù)y′=3x²-6x=3x（x-2），
且y|_x=2=-1，
∴a≥2且f（a）=a³-3a²+3≤1，
解得，2≤a≤1+$\sqrt{3}$；
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了分類討論的思想應(yīng)用．