Question

2．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且向量$\overrightarrow a=（n，S_n），\overrightarrow b=（4，n+3）$共線；等比數(shù)列{b_n}中b₁=a₁，b₂=a₃．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）若數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式為c_n=$\frac{1}{{n{a_n}}}+n{b_n}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用向量共線定理、遞推關(guān)系、等差數(shù)列的定義即可證明；
（2）利用“裂項(xiàng)求和”方法、“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 （1）證明：$\overrightarrow a與\overrightarrow b$共線，得${S_n}=\frac{n（n+3）}{4}$，
∴當(dāng)$n=1時(shí)，{a_1}=1；當(dāng)n≥2時(shí)，{a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{n+1}{2}$，
∴${a_n}-{a_{n-1}}=\frac{1}{2}$，所以數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）由（1）可得a_n=1+$\frac{1}{2}（n-1）$=$\frac{n+1}{2}$．
設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，∵b₁=a₁，b₂=a₃，∴$\frac{3+1}{2}$=$\frac{1+1}{2}$•q，解得q=2．
∴b_n=2^n-1．
∴c_n=$\frac{1}{{n{a_n}}}+n{b_n}$=$\frac{2}{n（n+1）}$+n•2^n-1．
設(shè)數(shù)列$\{\frac{2}{n（n+1）}\}$的前n項(xiàng)和為A_n，
則A_n=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=2$（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{2n}{n+1}$．
設(shè)數(shù)列{n•2^n-1}的前n項(xiàng)和為B_n，
則B_n=1+2×2+3×2²+…+n•2^n-1，
∴2B_n=2+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
相減可得：-B_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n•2ⁿ=（1-n）•2ⁿ-1，
∴B_n=（n-1）•2ⁿ+1．
∴${T_n}=\frac{2n}{n+1}+（n-1）{2^n}+1$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量共線定理、遞推關(guān)系、等差數(shù)列的定義、“裂項(xiàng)求和”方法、“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．