Question

1．已知拋物線Γ：x²=8y的焦點(diǎn)為F，直線l與拋物線Γ在第一象限相切于點(diǎn)P，并且與直線y=-2及x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，直線PF與拋物線Γ的另一交點(diǎn)為Q，過點(diǎn)B作BC∥AF交PF于點(diǎn)C，若|PC|=|QF|，則|PF|=（　　）

• A． $\sqrt{5}$-1
• B． 2$+\sqrt{5}$
• C． 3$+\sqrt{5}$
• D． 5$+\sqrt{5}$

Answer 1

分析 設(shè)P（m，$\frac{1}{8}$m²），分別過B、P作直線y=-2的垂線，垂足為D、E，由已知條件推導(dǎo)出|FC|=|BD|=2，設(shè)直線PQ的方程為y=kx+2，代入C：x²=8y得x²-8kx-16=00，由此能求出|PF|．

解答 解：設(shè)P（m，$\frac{1}{8}$m²），分別過B、P作直線y=-2的垂線，垂足為D、E，
∵BC∥AF，∴$\frac{|FC|}{|FP|}$=$\frac{|AB|}{|AP|}$=$\frac{|BD|}{|PE|}$，
∵|FP|=|PE|，∴|FC|=|BD|=2，
設(shè)直線PQ的方程為y=kx+2，代入C：x²=8y得x²-8kx-16=0，
∴m•x_Q=-16，∴x_Q=-$\frac{16}{m}$，∴y_Q=$\frac{32}{{m}^{2}}$，
∵|PF|=$\frac{1}{8}$m²+2，∴|PC|=$\frac{1}{8}$m²，
∵|QF|=$\frac{32}{{m}^{2}}$+2，|PC|=|QF|，
∴得$\frac{1}{8}$m²=$\frac{32}{{m}^{2}}$+2，
∴m⁴-16m²-256=0，解得m²=8+8$\sqrt{5}$
∴|PF|=$\frac{1}{8}$m²+2=3+$\sqrt{5}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查考查線段長的求法，考查函數(shù)與方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用，屬于中檔題．