Question

19．已知函數(shù)f（x）=|cosx|•sinx，給出下列五個(gè)說法：
?①$f（\frac{2015π}{3}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{4}$；?
②若|f（x₁）|=|f（x₂）|，則x₁=x₂+kπ（k∈Z）
③f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$上單調(diào)遞增；
④函數(shù)f（x）的最小正周期為π；
⑤f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（π，0）成中心對稱．
其中說法正確的序號是①③⑤．

Answer 1

分析 利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行判斷，

解答 解：f（$\frac{2015π}{3}$）=|cos$\frac{2015π}{3}$|sin$\frac{2015π}{3}$=|cos（672π-$\frac{π}{3}$）|sin（672π-$\frac{π}{3}$）=cos$\frac{π}{3}$sin（-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}×$（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$．故①正確；
|f（x）|的圖象是軸對稱圖形，當(dāng)x₁，x₂關(guān)于|f（x）|的對稱軸對稱時(shí)，顯然x₁≠x₂+kπ（k∈Z）．故②錯(cuò)誤；
當(dāng)x∈$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$時(shí)，cosx＞0，∴f（x）=cosxsinx=$\frac{1}{2}$sin2x，此時(shí)2x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，∴f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$上單調(diào)遞增；故③正確；
∵f（-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{1}{2}$，f（$\frac{3π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，∴函數(shù)f（x）的最小正周期不是π．故④錯(cuò)誤；
∵|cosx|≥0，∴f（x）的對稱中心就是y=sinx的對稱中心，故⑤正確；
故答案為：①③⑤．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角函數(shù)的周期及單調(diào)性判斷，屬于中檔題．