Question

4．一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為$\frac{4π}{3}$，半徑為6cm的扇形，則此圓錐的體積為$\frac{16\sqrt{5}π}{3}$cm³．

Answer 1

分析 由于圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為 $\frac{4π}{3}$，半徑為6cm的扇形，可知圓錐的母線長(zhǎng)，底面周長(zhǎng)即扇形的弧長(zhǎng)，由此可以求圓錐的底面的半徑r，求出底面圓的面積，求出圓錐的高，然后代入圓錐的體積公式求出體積．

解答 解：∵圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為$\frac{4π}{3}$半徑為6cm的扇形
∴圓錐的母線長(zhǎng)為l=6，底面周長(zhǎng)即扇形的弧長(zhǎng)為$\frac{4π}{3}$×6=8π，
∴底面圓的半徑r=4，可得底面圓的面積為π×r²=16π
又圓錐的高h(yuǎn)=$\sqrt{{l}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{36-16}$=2$\sqrt{5}$
故圓錐的體積為V=$\frac{1}{3}$×8π×2$\sqrt{5}$=$\frac{16\sqrt{5}π}{3}$，（cm³）．
故答案為：$\frac{16\sqrt{5}π}{3}$cm³．

點(diǎn)評(píng) 本題考查弧長(zhǎng)公式及旋轉(zhuǎn)體的體積公式，解答此類問(wèn)題關(guān)鍵是求相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)，本題考查了空間想像能力及運(yùn)用公式計(jì)算的能力．