Question

20．已知如圖幾何體A₁C₁E₁-ABCDEF底面是邊長為2的六變形，AA₁，CC₁，EE₁長度為2且都垂直與底面，
（1）求證：平面A₁C₁E₁∥平面ABCDEF
（2）求幾何體A₁C₁E₁-ABCDEF的體積．

Answer 1

分析 （1）證明A₁C₁∥平面ABCDEF，A₁E₁∥平面ABCDEF，即可證明平面A₁C₁E₁∥平面ABCDEF
（2）利用補形法求幾何體A₁C₁E₁-ABCDEF的體積．

解答 （1）證明：∵AA₁，CC₁，EE₁長度為2且都垂直與底面，
∴AA₁∥CC₁，AA₁∥EE₁，AA₁=CC₁，AA₁=EE₁，
∴四邊形AA₁C₁C、AA₁E₁E是平行四邊形，
∴A₁C₁∥AC，A₁E₁∥AE，
∴A₁C₁∥平面ABCDEF，A₁E₁∥平面ABCDEF，
∵A₁C₁∩A₁E₁=A₁，
∴平面A₁C₁E₁∥平面ABCDEF
（2）解：幾何體A₁C₁E₁-ABCDEF的體積=6×$\frac{\sqrt{3}}{4}×4×2$-3×$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}×2$=10$\sqrt{3}$．

點評 本題考查線面平行、平面與平面平行的判定，考查幾何體體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．