Question

12．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，焦距為2$\sqrt{2}$，過點(diǎn)D（1，0）直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)直線l的斜率為-1時(shí)，求|AB|；
（3）若直線l垂直于x軸，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，1），直線AE與直線x=3交于點(diǎn)M，求直線BM的斜率．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）由題意可得直線l：y=1-x，代入橢圓方程，求得交點(diǎn)，再由兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算即可得到所求；
（3）由直線l過D（1，0）且垂直于x軸，設(shè)A（1，y₁），B（1，-y₁），求得AE的方程，求得M的坐標(biāo)，再由直線的斜率公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：（1）由題意可得2c=2$\sqrt{2}$，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
解得a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（2）由題意可得直線l：y=1-x，代入橢圓方程可得
2x²-3x=0，解得x=0或$\frac{3}{2}$，即A（0，1），B（$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
即有|AB|=$\sqrt{（0-\frac{3}{2}）^{2}+（1+\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$；
（3）由直線l過D（1，0）且垂直于x軸，設(shè)A（1，y₁），B（1，-y₁），
AE的方程為y-1=（1-y₁）（x-2），令x=3可得M（3，2-y₁），
即有BM的斜率為k=$\frac{2-{y}_{1}-（-{y}_{1}）}{3-1}$=1．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，求交點(diǎn)，考查直線的斜率公式和兩點(diǎn)的距離公式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．