Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow$=4$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$，其中$\overrightarrow{{e}_{1}}$=（1，0），$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（0，1）．
（Ⅰ）試計(jì)算$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$及|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的值； 
（Ⅱ）求向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用向量的加減坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及模的公式，計(jì)算即可得到所求；
（Ⅱ）運(yùn)用向量的夾角公式：cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（1，-1），
$\overrightarrow$=4$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（4，3），
可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=4-3=1；
$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（5，2），
即有|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{25+4}$=$\sqrt{29}$；
（Ⅱ）由（1）可得|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，
|$\overrightarrow$|=$\sqrt{16+9}$=5，
即有cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{1}{5\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
則向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的運(yùn)算，很重要考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和夾角公式，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．