Question

20．已知曲線C的極坐標方程是ρ=2cosθ，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t+m}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）
（1）求曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；
（2）當m=2時，直線l與曲線C交于A、B兩點，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，能求出曲線C的直角坐標方程；直線l消去參數(shù)能求出直線l的普通方程．
（2）當m=2時，直線l為：$x-\sqrt{3}y$-2=0，曲線C：x²+y²-2x=0是以（1，0）為圓心，以r=1為半徑的圓，求出圓心（1，0）到直線l的距離d，由勾股定理能求出|AB|．

解答 解：（1）∵曲線C的極坐標方程是ρ=2cosθ，∴ρ²=2ρcosθ，
∴曲線C的直角坐標方程是x²+y²-2x=0．
∵直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t+m}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴消去參數(shù)得直線l的普通方程是x-$\sqrt{3}$y-m=0．
（2）當m=2時，直線l為：$x-\sqrt{3}y$-2=0，
∵直線l與曲線C交于A、B兩點，
曲線C：x²+y²-2x=0是以（1，0）為圓心，以r=1為半徑的圓．
圓心（1，0）到直線l的距離d=$\frac{|1-2|}{\sqrt{1+3}}$=$\frac{1}{2}$，
∴|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-1b1mbuk^{2}}$=2$\sqrt{1-\frac{1}{4}}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查極坐標方程、參數(shù)方程、直角坐標方程的互化，考查弦長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意極坐標、直角坐標互化公式的合理運用．