Question

16．（1）求證$\frac{1}{2}≤\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+…+\frac{1}{n（n+1）}＜1$，（n∈N^*）
（2）已知a，b，c∈R，且a=b+c+1．證明：兩個(gè)一元二次方程x²+x+b=0，x²+ax+c=0中至少有一個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

Answer 1

分析 （1）用裂項(xiàng)法進(jìn)行數(shù)列求和可得$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$，由此證得結(jié)論．
（2）假設(shè)兩方程均沒(méi)有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，化簡(jiǎn)得出矛盾，從而得出結(jié)論．

解答 解：（1）證明：∵$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$，n∈N^*，
∴$\frac{1}{2}$≤1-$\frac{1}{n+1}$＜1．
（2）證明：假設(shè)兩方程均沒(méi)有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，
則對(duì)于x²+x+b=0，△=1-4b≤0，化簡(jiǎn)可得b≥$\frac{1}{4}$．
∵a=b+c+1，∴a≥c+$\frac{5}{4}$．
對(duì)于x²+ax+c=0，△′=a²-4c≤0，即a²≤4c，
∴4c≥c²+$\frac{5}{2}$ c+$\frac{16}{25}$，即  ${（c-\frac{3}{4}）}^{2}$+1≤0，矛盾，
故兩個(gè)一元二次方程x²+x+b=0，x²+ax+c=0中至少有一個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查用裂項(xiàng)法進(jìn)行數(shù)列求和，用反證法證明數(shù)學(xué)命題，屬于中檔題．