Question

20．（1）已知f（x）=x²-2ax（0≤x≤1），求f（x）的最小值；
（2）已知函數(shù)f（x）=x²+3x-5，x∈[t，t+1]，若f（x）的最小值為h（t），寫出h（t）的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）求出對稱軸x=a，討論當(dāng)a＜0時(shí)，當(dāng)0≤a≤1時(shí)，當(dāng)a＞1時(shí)，運(yùn)用單調(diào)性，即可得到最小值；
（2）求出對稱軸為x=-$\frac{3}{2}$，討論當(dāng)t+1≤-$\frac{3}{2}$，即t≤$-\frac{5}{2}$時(shí)，當(dāng)t＞$-\frac{3}{2}$時(shí)，當(dāng)t≤-$\frac{3}{2}$＜t+1，即-$\frac{5}{2}$＜t≤-$\frac{3}{2}$時(shí)，運(yùn)用單調(diào)性即可得到最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-2ax=（x-a）²-a²，對稱軸為x=a，
①當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（0）=0．
②當(dāng)0≤a≤1時(shí)，f（x）_min=f（a）=-a²
③當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在[0，1]上是減函數(shù)，
∴f（x）_min=f（1）=1-2a，
綜上所述，f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{0，a＜0}\\{-{a}^{2}，0≤a≤1}\\{1-2a，a＞1}\end{array}\right.$；
（2）f（x）=${（x+\frac{3}{2}）^2}-\frac{29}{4}$，
所以對稱軸為直線x=-$\frac{3}{2}$固定，而區(qū)間[t，t+1]是變動的，
因此有①當(dāng)t+1≤-$\frac{3}{2}$，即t≤$-\frac{5}{2}$時(shí)，區(qū)間[t，t+1]遞減，
h（t）=f（t+1）=（ t+1）²+3（t+1）-5=t²+5t-1；
②當(dāng)t＞$-\frac{3}{2}$時(shí)，區(qū)間[t，t+1]遞增，h（t）=f（t）=t²+3t-5；
③當(dāng)t≤-$\frac{3}{2}$＜t+1，即-$\frac{5}{2}$＜t≤-$\frac{3}{2}$時(shí)，h（t）=f（-$\frac{3}{2}$）=$-\frac{29}{4}$．
綜上可知，h（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}+5t-1，t≤-\frac{5}{2}}\\{-\frac{29}{4}，-\frac{5}{2}＜t≤-\frac{3}{2}}\\{{t}^{2}+3t-5，t＞-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的最值的求法，考查函數(shù)的對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，注意運(yùn)用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題和易錯(cuò)題．