Question

6．已知f（x）=x（$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）．
（1）指出函數(shù)的奇偶性，并予以證明；
（2）求證：對任何x（x∈R，且x≠0）都有f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判定函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合偶函數(shù)的對稱性證明當(dāng)x＞0時，f（x）＞0即可．

解答 證明：（1）f（x）=x（$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）=$\frac{x（{2}^{x}-1）}{{2}^{x}+1}$．
則函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．
∵f（-x）=$\frac{-x（{2}^{-x}-1）}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{-x•（1-{2}^{x}）}{1+{2}^{x}}$=$\frac{x（{2}^{x}-1）}{{2}^{x}+1}$=f（x），
∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．
（2）∵函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．
∴只要證明當(dāng)x＞0時，f（x）＞0即可．
當(dāng)x＞0時，2^x＞1，則2^x-1＞0，2^x+1＞0，
則f（x）=$\frac{x（{2}^{x}-1）}{{2}^{x}+1}$＞0，
∴對所有非零實數(shù)x，都有f（x）＞0成立．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷以及函數(shù)值的證明，比較基礎(chǔ)．