已知橢圓方程為
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0），F(xiàn)1、F2分別為其上、下兩個(gè)焦點(diǎn)，F(xiàn)1（0，1），F(xiàn)2（0，-1），過(guò)F2斜率為1的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=
24
7
．
（1）求橢圓的方程；
（2）C、D為橢圓的上、下頂點(diǎn)，是否存在直線y=m，使得該直線上的任意點(diǎn)P（x0，m）滿足PC、PD與橢圓的另一交點(diǎn)M、N，MN的連線恒過(guò)F2．
考點(diǎn)：橢圓的應(yīng)用,橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)
專題：計(jì)算題,作圖題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）由題意做出圖象，借助圖象可知，a2=b2+1，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及兩點(diǎn)間的距離公式可得，（x1-x2）2=（
2b2
2b2+1
）2-4
-b4
2b2+1
=（
24
7
•
2
2
）2，從而可得
8b4(b2+1)
(2b2+1)2
=
288
49
，進(jìn)而求出橢圓的方程．
（2）假設(shè)存在，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，解出點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-
12(m-2)x0
3(m-2)2+4
x
2
0
，-
12(m-2)2
3(m-2)2+4
x
2
0
+2），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（
12(m+2)x0
3(m+2)2+4
x
2
0
，
12(m+2)2
3(m+2)2+4x02
-2），由M、N、F2，三點(diǎn)共線可知斜率相等，從而得到-
12(m-2)x0
3(m-2)2+4
x
2
0
•（
12(m+2)2
3(m+2)2+4x02
-2+1）-
12(m+2)x0
3(m+2)2+4
x
2
0
•（-
12(m-2)2
3(m-2)2+4
x
2
0
+2+1）=0對(duì)任意x0都成立，從而解出m．
解答： 解：（1）如右圖：由題意知，c=1，則a2=b2+1，
過(guò)F2斜率為1的直線方程為y=x-1，與橢圓方程
y2
a2
+
x2
b2
=1聯(lián)立消y可得，
(x-1)2
b2+1
+
x2
b2
=1，即（2b2+1）x2-2b2x-b4=0，
設(shè)A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，則
x1+x2=
2b2
2b2+1
，x1x2=
-b4
2b2+1
，又∵|AB|=
24
7
，
則（x1-x2）2=（
2b2
2b2+1
）2-4
-b4
2b2+1
=（
24
7
•
2
2
）2，
即
8b4(b2+1)
(2b2+1)2
=
288
49
，
解得，b2=3，則a2=b2+1=4；
則橢圓的方程為
y2
4
+
x2
3
=1．
（2）假設(shè)存在直線y=m，使得該直線上的任意點(diǎn)P（x0，m）滿足PC、PD與橢圓的另一交點(diǎn)M、N，MN的連線恒過(guò)F2．
C（0，2），D（0，-2），
則直線CP的方程為y=
m-2
x0
x+2，與
y2
4
+
x2
3
=1聯(lián)立消去y化簡(jiǎn)可得．
（3(
m-2
x0
)2+4）x2+12
m-2
x0
x=0，
解得，x=0或x=-
12(m-2)x0
3(m-2)2+4
x
2
0
；
則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-
12(m-2)x0
3(m-2)2+4
x
2
0
，-
12(m-2)2
3(m-2)2+4
x
2
0
+2），
同理，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（
12(m+2)x0
3(m+2)2+4
x
2
0
，
12(m+2)2
3(m+2)2+4x02
-2），
則由M、N、F2，三點(diǎn)共線可知，
-
12(m-2)x0
3(m-2)2+4
x
2
0
•（
12(m+2)2
3(m+2)2+4x02
-2+1）-
12(m+2)x0
3(m+2)2+4
x
2
0
•（-
12(m-2)2
3(m-2)2+4
x
2
0
+2+1）=0，
即：
12(m-2)x0
3(m-2)2+4
x
2
0
•（
12(m+2)2
3(m+2)2+4x02
-1）-
12(m+2)x0
3(m+2)2+4
x
2
0
•（
12(m-2)2
3(m-2)2+4
x
2
0
-3）=0，
即x0[9（m+2）2（m-2）-3（m-2）2（m+2）-4x02[（m-2）-3（m+2）]]=0，
∵x0任意，則9（m+2）2（m-2）-3（m-2）2（m+2）=0且（m-2）-3（m+2）=0，
解得，m=-4．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的方程的求法解三點(diǎn)共線問(wèn)題，同時(shí)考查了圓錐曲線與直線的交點(diǎn)問(wèn)題及恒成立問(wèn)題，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

①比較
7
+
10
和
3
+
14
的大小
②若關(guān)于x的不等式-
1
2
x2+2x＞mx的解集為{x|0＜x＜2}，求m值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若f′（x0）=-3，則
lim
h→0
f(x0+h)-f(x0-h)
h
=（　�。�
A、-3B、-6C、-9D、-12

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在公比為整數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若，a1+a3=6，a2+a4=12，則a3等于（　�。�
A、
6
5
B、
12
5
C、
24
5
D、
48
5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若集合A={x|2a+1≤x≤3a-5 }，B={x|3≤x≤22 }，則能使A⊆B成立的所有a的集合是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

任給x的值，計(jì)算函數(shù)y=
1(x＜1)
2(x=1)
3(x＞1)
中y值的程序框圖，如圖，其中，①、②、③分別是（　�。�
A、x＜1、x＞1、y=3
B、x=1、x＞1、y=3
C、x＜1、x=1、y=3
D、x＜1、x＞1、y=3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知△ABC中，sinA：sinB：sinC=1：1：
3
，則此三角形的最大內(nèi)角的度數(shù)是（　�。�
A、60°B、90°
C、120°D、135°

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在等差數(shù)列{an}中，已知前三項(xiàng)和為15，最后三項(xiàng)和為78，所有項(xiàng)和為155，則項(xiàng)數(shù)n=（　�。�
A、8B、9C、10D、11

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)y=f（x）在R上為減函數(shù)，且f（2m）＞f（-m+9），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�
A、（-∞，3）
B、（0，+∞）
C、（3，+∞）
D、（-∞，-3）∪（3，+∞）

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同步練習(xí)冊(cè)答案