Question

2．已知奇函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），且當(dāng)x＞0時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}+1，0＜x＜1}\\{{e}^{x-1}+1，x≥1}\end{array}\right.$，則函數(shù)y=f（x）-3|x|+2的零點個數(shù)為（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的解析式，根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵奇函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
當(dāng)x＞0時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}+1，0＜x＜1}\\{{e}^{x-1}+1，x≥1}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)-1＜x＜0時，0＜-x＜1，
則f（-x）=$\sqrt{-x}$+1=-f（x），則f（x）=-$\sqrt{-x}$-1，
（-1＜x＜0）．
當(dāng)x≤-1時，-x≥1，
則f（-x）=e^-x-1+1=-f（x），
則f（x）=-e^-x-1-1，x≤-1，
由y=f（x）-3|x|+2=0得f（x）=3|x|-2，
分別作出函數(shù)f（x）與y=3|x|-2的圖象如圖，
則由圖象知兩個函數(shù)的交點個數(shù)為3個，
故函數(shù)的零點個數(shù)為3個，
故選：B．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式，以及利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題是解決本題的關(guān)鍵．