Question

20．在棱長(zhǎng)為1的正四面體內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在正四面體內(nèi)切球內(nèi)的概率為$\frac{3π}{18}$．

Answer 1

分析 先求出正四面體內(nèi)切球的半徑和體積，結(jié)合幾何概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可

解答 解：設(shè)正四面體S-ABCD如圖所示，
可得它的內(nèi)切球的球心0必定在高線SH上，
延長(zhǎng)AH交BC于點(diǎn)D，則D為BC的中點(diǎn)，連結(jié)SD則內(nèi)切球切SD于點(diǎn)E，連結(jié)AO，
∵H是正三角形ABC的中心，
∴AH：HD=2：1，
∵Rt△0AH∽R(shí)t△DSH，
∴$\frac{OA}{OH}=\frac{DS}{DH}$=3，可得OA=30H=S0，
因此，SH=4OH，可得內(nèi)切球的半徑OH=$\frac{1}{4}$SH；
∵正四面體棱長(zhǎng)為1，
∴Rt△SHD中，SD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，HD=$\frac{1}{3}$SD=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
可得SH=$\sqrt{S{D}^{2}-H{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，得內(nèi)切球的半徑r=OH=$\frac{1}{4}$×$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{12}$，
在棱長(zhǎng)為1的正四面體內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在正四面體內(nèi)切球內(nèi)的概率為P=$\frac{{V}_{球}}{{V}_{四面體}}$=$\frac{\frac{4}{3}π{×（\frac{\sqrt{6}}{12}）^{3}}^{\;}}{\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{1}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}}$=$\frac{3π}{18}$，
故答案為：$\frac{3π}{18}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查幾何概型的概率的計(jì)算，根據(jù)條件求出內(nèi)切球的半徑和體積是解決本題的關(guān)鍵．